Множества и операции с ними

Определение множества

Множество — это совокупность уникальных элементов, которые могут быть числами, символами или другими объектами.

Множество будуем обозначать большими буквами, например, $A$, $B$, ..., $X$, $Y$, $Z$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, ..., $\mathfrak{Z}$ и т.д.

Элементы множества будем обозначать маленькими буквами, например, $a$, $b$, ..., $x$, $y$, $z$, $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, ..., $\mathfrak{z}$ и т.д.

Объект $a$ является элементом множества $A$ будем писать как $a \in A$.

Объект $b$ не является элементом множества $B$ будем писать как $b \notin B$.

Запись множеств

Запись $A = \{a, b, c\}$ означает, что множество $A$ состоит из элементов $a$, $b$ и $c$.

Запись $B = \{x : x \text{ обладает свойством } P\}$ означает, что множество $B$ состоит из всех элементов $x$, которые обладают свойством $P$.

Запись $C = \{y_\gamma \}, \gamma \in \mathfrak{I}$ означает, что множество $C$ состоит из всех элементов $y_\gamma$, где $\gamma$ принадлежит множеству $\mathfrak{I}$.

Пример множества

Рассмотрим множество $A$, состоящее из первых пяти натуральных чисел:$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

В этом примере элементы множества $A$ — это числа $1, 2, 3, 4, 5$. Мы можем записать, что число $3$ является элементом множества $A$ как $3 \in A$, а число $6$ не является элементом множества $A$ как $6 \notin A$.

Определение равенства множеств

Равенство множеств — два множества равны, если они содержат одни и те же элементы.

Равенство множеств $A = B$ фактически значит, что одно и то же множество обозначено разными буквами $A$ и $B$.

Формально мы говорим, что множества $A$ и $B$ равны, если для любого элемента $x$ выполняется следующее условие:$\forall x \in A \iff x \in B$

$\forall$ — символ квантора всеобщности, означающий "для любого".

$\iff$ — логический символ, означающий "тогда и только тогда, когда".

Пример равенства множеств

Рассмотрим множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 2, 1\}$. Хотя элементы в этих множествах записаны в разном порядке, они содержат одни и те же элементы. Поэтому, по определению, что множества $A$ и $B$ равны: $A = B$.

Пустое множество

Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента.

Пустое множество обозначается символом $\varnothing$.

Определение подмножества

Подмножество — это множество, все элементы которого также являются элементами другого множества.

Если множество $A$ является подмножеством множества $B$, мы пишем это как $A \subseteq B$.

Принятно считать, что любое множество является подмножеством самого себя, то есть $A \subseteq A$.

Кроме того, пустое множество является подмножеством любого множества, то есть $\varnothing \subseteq A$ для любого множества $A$.

Пример подмножества

Рассмотрим множества $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Все элементы множества $A$ (то есть числа $1$ и $2$) также являются элементами множества $B$. Поэтому мы можем сказать, что $A$ является подмножеством $B$: $A \subseteq B$.

Теорема о равенстве множеств

Теорема о равенстве множеств — два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.

То есть, если $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то $A = B$.

Доказательство теоремы о равенстве множеств

Определение собственного подмножества

Собственное подмножество — это подмножество, которое не равно самому множеству.

Если множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$, мы пишем это как $A \subset B$.

Это означает, что все элементы множества $A$ также являются элементами множества $B$, но существует по крайней мере один элемент $x$ в множестве $B$, которого нет в множестве $A$:$\exists x \in B : x \notin A$

$\exists$ — символ квантора существования, означающий "существует".

Пример собственного подмножества

Рассмотрим множества $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3\}$. Все элементы множества $A$ также являются элементами множества $B$, и множество $A$ не равно множеству $B$. Поэтому мы можем сказать, что $A$ является собственным подмножеством $B$: $A \subset B$.

Объединение множеств

Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств.

Объединение множеств $A$ и $B$ обозначается как $A \cup B$.

Пример объединения множеств

Если $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$, то их объединение будет $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Для любого множества $A$ полагается, что $A \cup \varnothing = A$.

Пересечение множеств

Пересечение множеств — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат обоим множествам.

Пересечение множеств $A$ и $B$ обозначается как $A \cap B$.

Пример пересечения множеств

Если $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$, то их пересечение будет $A \cap B = \{3\}$.

Непересекающиеся множества

Непересекающиеся множества — это множества, которые не имеют общих элементов.

Если множества $A$ и $B$ непересекающиеся, то их пересечение равно пустому множеству:$A \cap B = \varnothing$

Пример непересекающихся множеств

Рассмотрим множества $A = \{1, 2\}$ и $B = \{3, 4\}$. Поскольку у них нет общих элементов, они являются непересекающимися множествами, их пересечение равно пустому множеству: $A \cap B = \varnothing$.

Свойства пустного множества

Для любого множества $A$ полагается, что $A \cap \varnothing = \varnothing$. Таким образом пустое множество совпадает само с собой $\varnothing = \varnothing$ и при этом не пересекается ни с каким множеством, включая само себя: $A \cap \varnothing = \varnothing$.

Пустое множество является подмножеством любого множества, то есть $\varnothing \subseteq A$ для любого множества $A$.

Разность множеств

Разность множеств — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат первому множеству, но не принадлежат второму.

Разность множеств $A$ и $B$ обозначается как $A \setminus B$.

Пример разности множеств

Если $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$, то их разность будет $A \setminus B = \{1, 2\}$.

Дополнение множества

Дополнение множества A до B — это множество всех элементов, которые принадлежат множеству B, но не принадлежат множеству A.

Дополнение множества $A$ до $B$ обозначается как $B \setminus A$.
Да, просто дали отдельное название разности множеств в этом конкретном случае.

Пример дополнения множества

Если $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3, 4\}$, то дополнение множества $A$ до $B$ будет $B \setminus A = \{3, 4\}$.

По определению разности множеств, разность множества $A$ с самим собой равна пустому множеству:$A \setminus A = \varnothing$

Теорема о разложении объединения множеств

Теорема о разложении объединения множеств — объединение двух множеств можно разложить на три непересекающихся множества: элементы, принадлежащие только первому множеству, элементы, принадлежащие только второму множеству, и элементы, принадлежащие обоим множествам.

Формально это можно записать как:$A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$

Доказательство теоремы о разложении объединения множеств